Система учебных заданий

     Решение задач – важнейшая составляющая обучения математике. При подготовке учебно-методического комплекта необходимо, на наш взгляд, составить полный комплект учебных заданий. Эти задания могут войти в ту же книгу, где содержатся теоретические сведения, или могут быть опубликованы отдельно в виде задачника, могут быть разбиты по небольшим параграфам учебника или собраны вместе, могут быть по-разному классифицированы. Каждый вариант имеет свои преимущества и недостатки, разные учителя предпочитают разные формы расположения задачного материала, однако мы уверены, что учитель, работающий по выбранному учебнику достаточно долго, сможет приспособить любой вариант и сделать его удобным для себя и своих учеников.
     Гораздо более важный вопрос – это вопрос о полноте комплекта учебных заданий. Эту полноту надо обеспечить со следующих основных позиций:
     – наличие вопросов и коротких упражнений для закрепления изученной теории;
     – достаточный набор задач и упражнений на отработку основных способов действий, умения решать типовые задачи;
     – набор заданий развивающего характера (на их возможной классификации по ведущему стилю познавательной деятельности мы остановимся позже);
     – контрольно-измерительные материалы.
     В учебнике по математике обычно помещают четко сформулированные, однозначно понимаемые задания. С неточными постановками, двусмысленностью формулировок отчаянно борются рецензенты и редакторы, большинство учителей. Мы хотим представить несколько иную точку зрения на постановку учебных заданий.
     Разумеется, основной корпус заданий должен быть сформулирован ясно и точно. Нельзя, чтобы формулировка задания сама по себе доставляла бы дополнительные трудности, за исключением тех случаев, когда преодоление этих трудностей непосредственно входит в задачу обучения. Сразу стоит отметить, что имеется ряд сложившихся стандартных формулировок, которые хотя и понимаются однозначно, но могут быть трактованы достаточно произвольно. Например, большие циклы упражнений по алгебре имеют такую постановку: упростите выражение. Здесь вряд ли уместно подробное описание того, что имеется в виду – обычно это совершенно ясно из контекста.
     В то же время мы считаем, что необходимо смелее вводить задания с неточными, размытыми формулировками. У таких задач всегда есть какой-то основной, ведущий смысл (случай). Хорошо, если все ученики поймут и выполнят задачу именно в таком смысле. Учитель, если захочет, сможет обратить внимание (при разборе решения) на то, что можно несколько иначе понимать постановку задачи или заметить некоторые исключительные случаи. Другое дело, когда кто-то из учеников сам заметит неточность и задаст вопрос. Это замечательный момент в ходе урока, и учитель может многого добиться, потратив время на обсуждение вариантов. Не страшно, если замеченная учениками неточность будет отнесена на счет автора учебника – любой автор будет горд, если ученик станет наравне с ним или посчитает себя умнее его. Во всяком случае, мы старались сознательно вводить в свои учебники такие «неточные» места, чтобы инициировать активность читателей (учеников и учителей).
     Заметим, что «неточности» допустимы, на наш взгляд, не только при формулировке задач, но и при изложении теории. Это относится, прежде всего, к вопросу о том, надо ли с самого начала предусмотреть все условия и сделать оговорки о возможных исключениях или нет. Мы убеждены в том, что допустимо (особенно в богатых по смыслу, содержательных утверждениях) сначала сказать о главном, объяснить его, чтобы оно хорошо запомнилось, а уже потом обратить внимание либо на то, что «молчаливо предполагалось», либо на то, что не были учтены какие-то особые случаи. Опять же, если ученик дорастет до того, что сам заметит неточность или обнаружит исключение, это будет победой учителя (но не поражением учебника, хотя не страшно, если психологически это будет воспринято именно так).
     Приведем пример неточно сформулированной задачи по комбинаторике (по этому разделу вообще очень трудно абсолютно точное описание ситуации).
     Сколькими способами можно разложить 5 монет в 3 кармана?
     Естественное решение: первую монету можно положить в любой из трех карманов (3 варианта), затем вторую (независимо от первой) также в любой из трех карманов (число вариантов утроится и получится 3 ? 3 = 9 вариантов раскладки двух монет), продолжая так рассуждать далее, получим ответ: 35 = 243 способа.
     Это решение предполагает, что монеты были различны! Это не было отмечено в условии. А что, если все монеты одинаковы? Это совсем другая комбинаторная задача (ее можно решать сразу же, а можно и отложить – она гораздо труднее). Ответ в таком варианте: . Но можно задать и другие вопросы, например, указать, сколько есть сортов монет и сколько есть монет разного сорта. Можно поставить под сомнение, достаточно ли велики карманы – можно ли все монеты положить в один из них. (Ясно, что это предполагается, но стоит чуть изменить формулировку, сохранив ее комбинаторный смысл, как это уже не будет столь ясным). Еще вопросы – а карманы, они разные или нет? Может быть, мы различаем варианты лишь по количеству монет (считаем, разложения 2 + 1 + 1 и 1 + 2 + 1 одинаковыми). Продолжить обсуждение ситуации можно было бы и дальше.
     В заключение скажем, что к задачам, помещенным в учебниках можно предъявить еще одно полезное требование: каждая задача должна преследовать ясную учебную цель – можно утонуть в море задач, выбранных лишь по внешнему признаку связи с изучаемой темой. Любопытно, что старые задачники очень точно соблюдают это правило. Мы с удовольствием обнаружили, что легко можем объяснить, почему та или иная задача попала в старинный (и очень содержательный) задачник по алгебре Пржевальского (1870 года издания!). Такое удовольствие не всегда можно получить, просматривая некоторые современные учебники.
     Совсем кратко остановимся на другом элементе УМК, рабочей тетради.
     Рабочая тетрадь по математике – сравнительно новый вид дидактических материалов. Ее структура, оформление и способы использования находятся в стадии поисков. По общему замыслу рабочая тетрадь должна помочь учителю и ученику в организации учебной работы. Поэтому при оценке рабочей тетради надо прежде всего обратить внимание на удобство ее использования на уроке и для самостоятельной работы.
     По содержанию рабочая тетрадь должна включать в себя основные типы учебных заданий. Возникает первый вопрос – должна ли рабочая тетрадь повторять задания, содержащиеся в учебнике (задачнике), или она должна дополнять их. При повторении, разумеется, могут быть изменены исходные данные, но существо задания остается прежним. Когда мы говорим о дополнении, то имеем в виду действительно новые задачи, отсутствующие в учебнике. Ответ на поставленный вопрос неоднозначен. Возможен первый путь, особенно тогда, когда учебник претендует на полноту выбранного задачного материала и рабочая тетрадь с новыми заданиями может сбить учителя, снизить значение тех заданий, которые учебник выбрал в качестве ведущих. Такой путь осуществлен нами в подготовке рабочей тетради по алгебре для 7 класса.
     Однако можно составить рабочую тетрадь как самостоятельное учебное пособие, применяемое учителем по его выбору и содержащее задания по курсу, менее тесно связанные с построением и стилем учебника. Подготовленные нами рабочие тетради по алгебре для 8 и 9 классов более следуют по второму пути.
     Рабочая тетрадь должна по возможности освободить ученика от различной второстепенной, вспомогательной работы по выполнению задания – подготовить удобные места для выкладок и преобразований, начертить заранее координатные оси для графиков, ввести необходимые обозначения и т. п. Конечно, не всегда есть смысл освобождать ученика от этой работы, но одно из назначений рабочей тетради – это дать возможность сэкономить время и сосредоточить внимание ученика на главной сути задания.
     Оформление задания в рабочей тетради может «вести» ученика, организуя пошаговое выполнение задания, подсказывая что-то и направляя мысль ученика. Поэтому в перспективе можно ожидать подготовку рабочих тетрадей, специально ориентированных на выполнение более сложных заданий типа исследовательских или лабораторных работ.
     На настоящем этапе использования рабочих тетрадей надо накопить опыт их использования, попробовать включать в них разные формы заданий. Современная множительная техника должна позволить учителю проявить инициативу по составлению своих рабочих тетрадей (как это происходило в предыдущие годы с другими формами дидактических материалов). Лучшие крупицы этого опыта несомненно будут подхвачены при разработке учебных тетрадей для массового издания.