Учебник математики, его роль и назначение

     В учебно-методический комплект (УМК), необходимый для обучения математике, мы включаем
      учебник как ведущий элемент УМК;
      дидактические материалы (задачники, рабочие тетради, карточки и т. п.);
      книгу для учителя.
     Этот обязательный набор должен, на наш взгляд, быть дополнен вспомогательной литературой (история математики, организация работы школьных кружков, олимпиад, игр-конкурсов, научно-популярные книги), публикациями в периодической печати («Математика в школе», приложение к газете «Первое сентября»), материалами для использования компьютера в обучении. Остановимся более подробно на проблеме учебника математики.
     Существует развернутая теория учебника. Она так же мало помогает написать хороший учебник, как литературоведческая теория романа Ц интересный роман. Поэтому, не вдаваясь в теорию, отметим четыре основных позиции, по которым можно анализировать учебник по математике.
     1. Система введения математических понятий и их развитие.
     2. Мотивация появления нового материала.
     3. Логическое построение, наличие рассуждений и доказательств.
     4. Система учебных заданий.
     К этому можно добавить другие параметры учебника, которые, хотя и не являются ведущими, однако могут оказать влияние на выбор учителя: язык учебника и его оформление, наличие вспомогательного материала (справочник, таблицы, указатели, ответы и т. п.), сохранение преемственности с предыдущим этапом обучения. Естественно, что нельзя скидывать со счетов материальную сторону Ц стоимость учебника, его наличие в торговой сети.
     1. Введение новых понятий и их развитие
     Формирование важнейших математических понятий, являясь одной из основных задач математического образования, представляет собой центральное направление любого математического учебника. Учебники различаются по тому, как, на какой основе вводятся новые понятия, как происходит их развитие, насколько раскрываются их объем и глубина, как используются изучаемые понятия при решении задач, какие предлагаются интерпретации понятий.
     Общематематические понятия, такие как число, вектор, фигура, функция, величина, не могут быть определены, введены один раз и навсегда. Овладение такого рода понятиями происходит в течение всего периода обучения и, как правило, не заканчивается в школе. Скажем, никакое определение числа или функции не сможет представить весь объем этих понятий, и ученику предстоит всю школьную (а для многих из них и последующую) жизнь обогащать свои представления о числе и функции. Часто используемые формулировки типа «Функция Ц это правило или закон, по которомуЕ» или «Число Ц это результат счета или измеренияЕ» не являются, конечно, определениями в точном смысле этого слова. Поэтому не надо преувеличивать их роль и тем более стремиться задавать вопросы типа «Что такое функция?», «Что такое вектор?». Если учебник содержит ответы на такого рода вопросы в виде кратких определений, то это делается для того, чтобы акцентировать внимание на некоторых основных свойствах понятий.
     Еще великий математик и педагог А. Н. Колмогоров призывал не надсмехаться над неуклюжими попытками учеников, когда они в ответ на вопрос «Что такое Е?» начинали говорить «А это вот когда Е». Грамотное описание понятия по типу «А это вот когда Е» фактически близко его заданию с помощью свойств и, в конце концов, к аксиоматическому способу. Поэтому богатое описание примеров, ситуаций, когда фактически работает то или иное общее понятие, может быть ценной характеристикой учебника. Краткие же определения общих понятий в учебнике должны быть, прежде всего, непротиворечивыми, не препятствовать дальнейшему возможному развитию и применению понятия.
     Вслед за общими математическими понятиями (многие из которых близки к первичным понятиям) идут новые конструируемые понятия, которые тоже могут быть довольно общими. К их числу можно отнести такие понятия, как выражение, многочлен, угол, многоугольник, уравнение, график функции, обратная функция и т. п. Формирование такого рода понятий в учебнике может происходить по-разному. В конце концов, учебник должен содержать определение, но вполне допустимо использование того или иного термина «до его точного определения». Слова «уравнение», «угол», «график» появляются гораздо раньше того момента, когда возникает потребность более или менее точно очертить их смысл и способ употребления. При этом надо иметь в виду, что книга (учебник) предполагает линейное, постраничное расположение материала, а овладение понятием никогда не происходит линейно. Современные компьютерные технологии (начиная с гипертекста) хорошо учитывают эту особенность познания. Поэтому не стоит упрекать учебник в том, что какое-то слово появляется (в некотором понятном смысле) на сотой странице, а соответствующее определение Ц на двухсотой. Лучше посоветовать ученику заглянуть вперед (а иногда и в другую книгу).
     Проще обстоит дело с частными видами или представителями общих понятий (такими, как простое число, правильный треугольник, линейная функция, арифметическая прогрессия и т. п.). Как правило, такие понятия вводятся сравнительно точными определениями, хотя разные учебники могут давать такие определения по-разному. Содержательная трудность в работе с учебником в этом месте может возникнуть в следующем. Представьте себе, например, что учебник дает общепринятое определение линейной функции: «Линейной функцией называется функция вида y = ax + b». Теперь ответьте на следующие вопросы: «является ли функция y = (x + 1)² Ц x² линейной?», «являются ли линейные функции y = 2x и z = 2t одинаковыми или различными?». Разные учебники своей системой изложения предложат разные ответы на эти вопросы.
     Достаточно сложно обстоят дела с описанием (определением) в учебниках отношений между понятиями. Что такое неравенство (между числами)? Что означает равные дроби или равные многочлены? Как определяется равенство геометрических фигур? Что понимается под зависимостью между переменными? Как употребляются многочисленные термины, связанные с описанием наибольших и наименьших значений? Работая с новым для себя учебником, учитель должен вникнуть в то, какая система взаимоотношений между понятиями в нем принята (если она есть вообще).
     Наконец, последнее замечание о понятиях. Математика широко пользуется синонимами. Иногда разные термины используют для различения частных случаев (промежуток, интервал, сегмент, отрезок и т. д.), чаще Ц в силу сложившихся традиций (вещественное число, действительное число, нуль функции, корень функции и т. д.). Здесь мы призываем учителя к терпимости и не настаивать на точном использовании близких по смыслу понятий и их обозначений. Ученик должен быть готов к тому, что он в разных книгах встретит несколько разное понимание известных ему терминов и обозначений. Важно следить за тем, чтобы ученик, используя тот или иной термин, всегда мог объяснить, какой смысл он в него вкладывает.
     2. Мотивация
     Мотивационная сторона обучения часто недооценивается учителями. Средства мотивации, возбуждения познавательного интереса достаточно широки. Мы остановимся лишь на роли учебника и его возможностях.
     Многие учебники, начиная изложение новой темы, сразу «берут быка за рога» Ц начинают с определений, свойств, доказательств. В этом случае авторы полагают, что необходимое мотивационное введение к теме сделает учитель. Нам ближе такое построение учебника, в котором мотивационная сторона освещена достаточно подробно. Учитель может не располагать соответствующей информацией (не знать, забыть, не найти), ученик может пропустить объяснения учителя, и в результате обучающий эффект новой темы может заметно снизиться.
     Сильным мотивационным средством при введении новых понятий является обращение к истории математики. Помимо стандартных сообщений о математиках, их годах жизни и основных заслугах весьма полезно приводить в учебнике относящиеся к излагаемой теме фрагменты их математической деятельности Ц решение задачи, характерное название работы, интересное высказывание или яркий случай из их жизни. При этом не надо бояться повторений Ц многократное обращение к именам Евклида и Архимеда, Аль-Хорезми и Фибоначчи, Ферма и Декарта, Ньютона и Лейбница сделает их частью духовной жизни ученика.
     Другой привлекательной стороной учебника может быть рассказ о приложениях математики. Какие задачи привели к математическим открытиям, какие новые средства были при этом созданы, как с их помощью удалось продвинуться вперед в науке и технике Ц все это поможет заинтересовать ученика, расширит его кругозор. Разумеется, учебник не научно-популярная книга, общий стиль учебника диктует стиль рассказа о приложениях, однако не стоит бояться включения в учебник математики «чужеродных вкраплений».
     3. Объяснения и доказательства
     Большинство людей уверено в том, что теорема и ее доказательство Ц это главный атрибут математики. О роли и месте доказательств в школьном обучении написано очень много. Выделим несколько важных на наш взгляд моментов.
     Построить в школе достаточно большой курс на твердой основе аксиом, определений, теорем и доказательств вряд ли возможно. Единственный пример такого рода Ц это пример построения геометрии по Евклиду. Ётот эксперимент длится уже более двух тысяч лет, его результаты оцениваются по-разному, и мы не беремся их обсуждать.
     Мы защищаем следующее центральное положение: в школьном учебнике математики все главное должно быть объяснено, обосновано и доказано. В этом состоит сущность математического метода, громадное познавательное и воспитательное значение математики. Исключения (типа ссылок на то, что тот или иной факт доказывается в курсе высшей математики или еще где-то) возможны лишь для второстепенной информации, приводимой для сведения и не используемой при решении задач.
     Сформулировав так жестко и бескомпромиссно свою точку зрения, мы должны конечно разъяснить, что мы понимаем под словами «объяснено, обосновано и доказано». На первый план мы выдвигаем момент объяснения и обоснования. Математика начинается с вопроса «почему?». Учебник не должен скупиться на объяснения, откуда берется, чем объясняется, почему интересно то или иное явление. Здесь допустимы ассоциации и параллели, сравнения и разбор частных случаев. Разумеется, эта сторона учебника смыкается с его мотивационными установками, но направляет мысль ученика на поиск причин, движущих пружин наблюдаемого явления.
     Доказательство в собственном смысле слова зависит от того, на что оно опирается, какие факты или положения предполагаются известными. При этом существенную роль играет то, насколько явно выделено то, что считается верным (очевидным, само собой разумеющимся или доказанным ранее). На такой основе можно найти в школьном курсе математики много таких мест, где можно построить локальный фрагмент «строгой математики».
     Отметим еще один важный резерв аргументации Ц привлечение «посторонних» соображений и интерпретаций. Ётот резерв мы часто используем в новых учебниках. Говоря о важной роли доказательств в учебнике, мы хотим обратить еще внимание на то, что доказываемые утверждения должны быть содержательными, действительно требующими доказательств. Не стоит называть «доказательствами» пустые тавтологические переформулировки. Учебник должен воспитать убеждение в том, что теоремы математики действительно открывают что-то новое и полезное. Хорошо, если учебник включает в себя примеры, иллюстрирующие неочевидность и существенность тех или иных утверждений.
     Достаточно убедительными могут быть доказательства «на примере», причем, прежде всего, в тех случаях, когда доказательство в общем виде отличается от доказательства «на примере» не по существу, а только технически, скажем, когда оно требует слишком сложных обозначений. Например, доказательство в курсе алгебры 7 класса свойства степени (a^m)ⁿ = a^mn вполне можно провести для конкретных значений m и n, а не пытаться рассуждать в общем виде.
     Важнейшему вопросу построения системы учебных заданий мы посвятим отдельную статью.